درسنامه آموزشی فصل اول ریاضی و آمار (3) کلاس دوازدهم ادبیات و علوم انسانی

دنیای امروز پر از اطلاعاتی است که ما در بخش‌های مختلف زندگی با آنها روبه‌رو می‌شویم. بنابراین، برای اینکه بتوانیم بهتر زندگی کنیم و دربارهٔ مسائل مختلف بهتر تصمیم بگیریم، لازم است بتوانیم این اطلاعات را به خوبی درک و تحلیل کنیم. درک صحیح معیارها، نمودارها، اصطلاحات و مفاهیم آماری به ما کمک می‌کند که تفسیر درستی از این اطلاعات داشته باشیم، محدودیت‌های نتایج به‌دست آمده را بشناسیم و در نهایت، با استدلالی درست، بهتر تصمیم بگیریم. در این درس می‌خواهیم از شکل‌گیری یک مسئله در محیط زندگی‌مان تا یافتن پاسخی برای آن، از آمار استفاده کنیم و آماری فکر کردن را تمرین کنیم.

گام‌های چرخهٔ آمار در حل مسائل

پیش از هر چیز خوب است بدانیم «چرا فرایند حل مسئله را «چرخه» می‌نامیم».

همان‌طور که در مثال «استفاده از تلفن هوشمند» دیدیم، گام‌های مختلف حل مسئله به ما کمک می‌کنند که برای پرسش اصلی پاسخی پیدا کنیم، اما اغلب پس از اجرای تمامی گام‌ها با روشن‌تر شدن ابعاد مختلف مسئله و براساس نتایج و تجربهٔ به‌دست آمده، یک مسئلهٔ جدید دقیق‌تر شکل می‌گیرد. در واقع، برای پیدا کردن پاسخ پرسش اصلی تا رسیدن به یک جمع‌بندی منطقی، یک مسئله چندین بار بازبینی می‌شود. در این بخش، گام‌های چرخهٔ حل مسئله را بیشتر بررسی می‌کنیم.

گام اول (بیان مسئله)

طرح یک پرسش دقیق و شفاف مهم‌ترین گامِ رسیدن به پاسخ است. بنابراین، پیش از هرچیز باید مسئله به درستی درک شود و سپس به‌طور دقیق تعریف و بیان گردد؛ یعنی با توجه به اهداف، بودجه، زمان و دیگر شرایط موجود، جامعهٔ آماری را محدود، و هدف مطالعه را مشخص کنیم.

مثال: فرض کنید می‌خواهیم میزان فعالیت بدنی پسران کرمانشاه را بدانیم و برای آن برنامه‌ای داشته باشیم. پیش از هر چیز باید بتوانیم مسئله را دقیق تعریف کنیم. پس از مشورت با کارشناسان این حوزه متوجه می‌شویم که با توجه به عواملی مانند سن، محل سکونت (از نظر نزدیکی به مکان‌های ورزشی)، الگوهای فرهنگی فعالیت بدنی (مانند ارزشمندی ورزش‌های پهلوانی و…) یا توانایی‌ها و ناتوانی‌های جسمانی، میزان فعالیت بدنی این افراد بسیار متفاو ت است؛ پس، بدون محدود کردن جامعهٔ آماری نمی‌توانیم پاسخ مشخصی برای این مسئله داشته باشیم.

بدین ترتیب، مثلاً «بررسی متوسط فعالیت بدنی هفتگی در هوای آزاد در میان پسران 13 تا 15 سالهٔ یک مدرسهٔ مشخص در کرمانشاه» می‌تواند به‌عنوان یک مسئله مطرح شود.

چند مثال دیگر بزنید.

گام 2 (طرح و برنامه‌ریزی)

اندازه‌گیری یا سنجش، اولین قدم برای یافتن داده‌ها و بررسی متغیر مورد نظر است. در اندازه‌گیری، در واقع سعی می‌کنیم اطلاعات توصیفی (کیفی) را تا حد ممکن به اطلاعات کمّی (عددی) تبدیل کنیم. انتخاب معیار اندازه‌گیری مناسب برای متغیرهایی مانند قد، وزن و دما آسان است؛ زیرا با ابزارهایی آشنا می‌توانیم توصیف‌هایی مانند قدِ بلند، وزن مناسب یا هوای گرم را به کمّیتی قابل فهم برای همه تبدیل کنیم. البته اندازه‌گیری همیشه این‌قدر هم آسان نیست. فرض کنید در مطالعه‌ای می‌خواهیم میزان «خوشحالی» افراد را اندازه‌گیری کنیم. چه پرسش‌هایی می‌تواند برای اندازه‌گیری این متغیر به ما کمک کند؟ آیا اندازه‌گیری دارایی‌ها، تحصیلات، دستاوردها، تعداد دوستان و… لزوما مشخص می‌کند که هر فرد چقدر خوشحال است؟ احتمالا این طور نیست. با توجه به اهمیت انداز‌ه‌گیری می‌توانیم بفهمیم که حضور افراد متخصص در گروه هدایت کنندهٔ پژوهش چقدر مهم است. متخصصان، ابزارهای اندازه‌گیری یا پرسشنامه‌ها را طوری طراحی می‌کنند که با آنها بتوانیم همان متغیری را که مورد نظر است، اندازه بگیریم. بدون مشورت با این افراد، ممکن است به‌جای «خوشحالی» مثلاً «رفاه» یا به‌جای «هوش» مثلاً «حافظه» اندازه‌گیری شود.

در مرحلهٔ طرح و برنامه‌ریزی علاوه بر توافق دربارهٔ چگونگی اندازه‌گیری متغیرهای مورد نظر، دربارهٔ اندازهٔ نمونه، چگونگی نمونه‌گیری و همچنین شیوهٔ تحلیل داده‌ها تصمیم‌گیری می‌شود.

گام 3 (گردآوری و پاک‌سازی داده‌ها)

در هر مطالعه ممکن است در مرحلهٔ اندازه‌گیری، گردآوری یا ثبت داده‌ها و یا وارد کردن داده‌ها در نرم‌افزار اشتباهی رخ دهد. با بررسی دقیق‌داده‌ها می‌توان برخی از این اشتباه‌ها را تصحیح کرد.

گام 4 (تحلیل داده‌ها)

در این مرحله، داده‌ها را تحلیل می‌کنیم و نتایج را ارائه می‌دهیم. منظور از تحلیل داده‌ها در واقع صرفاً گزارش معیارها و ارائهٔ نمودارها و دیگر نتایج آماری است. تفسیر این نتایج و نتیجه‌گیری از آنها در گام بعد انجام خواهد شد.

یادآوری: همان‌طور که می‌دانید، برای توصیف داده‌های کمّی باید هم معیار گرایش به مرکز و هم معیار پراکندگی گزارش شود معیارهای گرایش به مرکز مانند میانگین و میانه به ما کمک می‌کنند بدانیم داده‌ها در کجا متمرکزند و معیارهای پراکندگی به ما کمک می‌کنند بدانیم داده‌ها چگونه متراکم یا پراکنده شده‌اند. به یاد دارید که اگر دادهٔ دور افتاده داشته باشیم، میانگین و انحراف معیار، معیارهای مناسبی برای توصیف داده‌ها نخواهند بود و باید از میانه و دامنه‌های میان چارکی استفاده کنیم. چرا؟

مثال:

با توجه به داده‌ها جدول زیر کامل شده است.

معیارهای پراکندگی			معیارهای گرایش به مرکز
دامنهٔ تغییرات	$SD(\sigma )$	$IQR$	میانه	میانگین	داده‌ها												متغیر
$19-15=4$	1/34	$18-15/5=2/5$	17	16/83	19	15	18	17	16	15	19	15	17	16	18	17	سن (سال)
$30-4=26$	8/55	$7/5-4/5=3$	16/25	9/71	5	4	30	6	8	7	6/5	7	6	4	29	4	میزان تماشای تلویزیون

راهنمای جدول: میزان تماشای تلویزیون: متوسط ساعت‌های تماشای تلویزیون در هفته؛ $IQR$: دامنهٔ میان چارکی؛ $SD$: انحراف معیار.

با توجه به جدول بالا، به پرسش‌های زیر پاسخ دهید.

الف) کدام معیار گرایش به مرکز و کدام معیار پراکندگی برای توصیف داده‌های متغیر «سن» مناسب‌اند؟ چرا؟
با توجه به توزیع داده‌ها، برای متغیر «سن»، میانگین و انحراف استاندارد (انحراف معیار) معیارهای مناسبی هستند، چون داده دور افتاده مشاهده نمی‌کنیم.

ب) کدام معیار گرایش به مرکز و کدام معیار پراکندگی، برای توصیف داده‌های «ساعت‌های تماشای تلویزیون» مناسب‌اند؟ چرا؟
میانه و دامنهٔ میان چارکی، معیارهای گرایش به مرکز و پراکندگی مناسبی هستند؛ زیرا چند داده دور افتاده وجود دارد.

پ) انحراف کدام داده‌ها از میانگین، باعث بزرگ شدن انحراف معیارِ متغیر «ساعت‌های تماشای تلویزیون» شده است؟ چگونه؟
داده‌های 29 و 30 فاصلهٔ زیادی از میانگین دارند و مجذور این فاصله‌ها باعث بزرگ شدن واریانس و به تبع آن بزرگ شدن انحراف استاندارد (انحراف معیار) شده است.

ت) اگر برای توصیف داده‌های متغیر «ساعت‌های تماشای تلویزیون» فقط میانگین گزارش می‌شد، خوانندگانی که به داده‌های خام دسترسی نداشتند چگونه گمراه می‌شدند؟
در واقع میانگین (9/71)، نماینده مناسبی برای داده‌های «میزان تماشای تلویزیون» نیست و به سمت داده‌های دور افتاده رفته است.

ث) با توجه به داده‌های جدول کار در کلاس در صفحهٔ قبل، کدامیک از نمودارهای زیر نشان دهندهٔ میانگین و انحراف معیار سن است؟ نمودار الف یا ب؟

نمودار الف

اگر داده‌های دورافتاده داشته باشیم، نمی‌توانیم فقط به نمایش میانگین و انحراف معیار بسنده کنیم؛ زیرا گزارش میانگین می‌تواند گمراه‌کننده باشد. در این‌گونه موارد باید از نمودار جعبه‌ای استفاده کنیم. برای داده‌های «ساعت‌های تماشای تلویزیون» در مثال بالا، با استفاده از مقدار چارک‌های اول، دوم (میانه) و سوم، ابعاد جعبه (به ترتیب ابتدا، خط میانی و انتها) را روی محور زیر مشخص کنید. سپس، با توجه به کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین داده‌ها، نمودار جعبه‌ای را رسم کنید.

الف) کدام نمودار بهتر نشان می‌دهد که داده‌ها کجا متراکم‌تر و کجا پراکنده‌ترند: نمودار نمایش دهندهٔ میانگین و انحراف معیار یا نمودار جعبه‌ای؟ نمودار جعبه‌ای

ب) اگر از الگوی توزیع داده‌ها و وجود داده‌های دورافتاده اطلاعی نداشته باشیم، کدام نمودار برای نمایش اطلاعات متغیرهای کمّی مطمئن‌تر است؟ مطمئن‌ترین نمودار برای متغیر کمی، نمودار جعبه‌ای است.

گام 5 (بحث و نتیجه‌گیری)

پس از تحلیل داده‌ها، باید بتوانیم با تفسیر نتایج، پاسخی برای مسئلهٔ اصلی پیدا کنیم. در تفسیر نتایج، توجه به محدودیت‌های مطالعه‌ای که انجام داده‌ایم بسیار مهم است. روش کار و محدودیت‌های آن باید چنان صادقانه گزارش شود که اگر افراد دیگری تصمیم به انجام دادن مطالعه‌ای در همان زمینه داشتند، با مشکلاتی مشابه مواجه نشوند. پیشنهادهای ما می‌تواند به این افراد کمک کند. اگر ضمن توجه به تمامی نکات نمونه‌گیری، داده‌ها را با روش‌های مناسبی تحلیل کرده باشیم، در بهترین حالت می‌توانیم نتایج را فقط به جامعه آماری مورد بررسی تعمیم دهیم؛ توجه کنید که اگر تمامی افراد جامعهٔ آماری را بررسی نکرده‌ایم، نتایج ما قطعی نیستند؛ چون در نمونه‌گیری دیگری از همین جامعه، افراد دیگری در نمونه قرار می‌گیرند و نتایج متفاوتی به‌دست خواهد آمد.

(از جامعه‌ای با اندازهٔ $N$ به چند طریق می‌توانیم نمونه‌هایی با اندازهٔ $n$ داشته باشیم؟)

یکپارچگی چرخهٔ آمار در حل مسائل

همان‌طور که دیدید، در تمامی گام‌های حل مسئلهٔ مرتبط با آمار، لازم است مسئلهٔ مورد بررسی، متغیرها و عوامل مرتبط با آنها را خوب بشناسیم. این امر، بدون کارِ گروهی و همکاری کارشناسان زمینهٔ پژوهش مورد بررسی، ممکن نیست. مثلاً اگر آمارگیران از اهداف کلی مطالعه باخبر نباشند یا فردی که داده‌ها را تحلیل می‌کند، ویژگی‌های جامعهٔ آماری یا موضوع مورد بررسی را به خوبی نشناسد، حتی اگر هر فرد به‌صورت جداگانه کار خود را خیلی خوب انجام دهد، نتیجهٔ نهایی لزوماً مطلوب نخواهد بود.

باید توجه داشته باشیم که اگر مطالعه در منطقه‌ای انجام می‌شود که ویژگی‌های آن را به خوبی نمی‌شناسیم، در تمام گام‌ها به دانش اهالی منطقه اولویت دهیم.

کیفیت اجرای هر یک از گام‌های چرخهٔ آمار، گام‌های دیگر را به شدت تحت تأثیر قرار می‌دهد. مثلا برای نقد معیارهای گزارش شده در یک مطالعه، نه تنها می‌توانیم چرایی گزارش میانگین یا میانه و یا گزارش نشدن شاخص پراکندگی را نقد کنیم، بلکه باید درباره چگونگی نمونه‌گیری، شیوه اندازه‌گیری، نوع ورود داده‌ها و تمامی موارد گام‌های دیگر چرخه نیز تردید و پرسش داشته باشیم.